sábado, 20 de diciembre de 2014

Por qué el pensamiento computacional (VII). Métodos por aproximaciones sucesivas. Ensayo – error.

Publicado con el mismo título en Pensamiento computacional y alfabetización digital / Computational thinking and computer literacy, el 14 de diciembre de 2014


Por qué el pensamiento computacionalhe venido publicando desde hace algo más de un mes. El propósito es poner sobre la mesa una relación no exahustiva  de componentes del pensamiento computacional, así como una aproximación al concepto por extensión, a partir de estas componentes como a partir de algunas de las definiciones que se han propuesto hasta ahora. Y por último, como consecuencia de lo anterior, queremos hacer una descripción somera de un currículum, adecuado a esos dominios conceptuales, para las distintas etapas educativas y para la capacitación de maestros y profesores.
El abordamiento tiene las limitaciones de un post. Pero después será tratado y ampliado en artículos y posiblemente en un libro, con más rigor, extensión y documentación. En este primer análisis  hemos intentamos conectar este propósito con conceptualizaciones y modalidades del pensamiento según las teorías del aprendizaje. Así pues hemos dedicado espacio como componentes del pensamiento computacional a: El análisis  ascendente, el análisis descendente, la heurística, el pensamiento divergente, la creatividad, la resolución de problemas, el pensamiento abstracto, la recursividad y la iteración.
Abordamos ahora los "métodos por aproximaciones sucesivas".

El método de resolución de problemas  por aproximaciones sucesivas o por ensayo-error constituye igualmente un procedimiento que utilizamos, confrontando  las ideas que nos formamos con la realidad tal como la percibimos, en acciones percepciones y en la formación de modelos cognitivos, de ideas. Sucede así en el ser humano a lo largo de toda la vida, desde las primeras etapas de desarrollo, en la que los niños comienzan a conocer la realidad, el mundo que les rodea. Utilizan los sentidos, la experimentación y la representación de las ideas obtenidas de las experiencias, para aceptar o rechazar el conocimiento que la realidad les ofrece y para inducirlo. Ese mecanismo forma parte del desarrollo humano, pero también lo encontramos en los fundamentos de la ciencia. Así lo encontramos en multitud de ámbitos y dominios del saber y de la técnica. Constituye la base de las ideas de Popper (1934) que fundamentan el método científico. Lo encontramos igualmente como uno de los procedimientos que más frecuente utilizan los programadores, de forma espontánea y subyacente, en casi todas las fases de su trabajo. También constituye la esencia de la ayuda pedagógica que los maestros y tutores hacen a sus alumnos para guiarles en estos procesos de ensayo error y que no se pierdan o se distraigan por caminos inapropiados.












Referencias

ANDERSON, J.A. (1993) Rules of the Mind (Hillsdale, NJ, Erlbaum).

Popper, Karl (1934).«The Logic of Scientific Discovery». Consultado el 08-09-2007. http://books.google.es/books?hl=es&lr=&id=LWSBAgAAQBAJ&oi=fnd&pg=PP1&dq=popper+scientific+methods

Popper, Karl (1934). La lógica de la investigación científica. Traducido por Víctor Sánchez de Zavala (1ª edición). Madrid: Editorial Tecnos (publicado el 1962). ISBN 84-309-0711-4..

Popper, Karl (1934). The Logic of Scientific Discovery. New York: Routledge (publicado el 2009).
Wood, D., & Wood, H. (1996). Vygotsky, tutoring and learning. Oxford review of Education, 22(1), 5-16. http://www.jstor.org/stable/1050800

Wood, D., & Wood, H. (1996). Vygotsky, tutoring and learning. Oxford review of Education22(1), 5-16. http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/0305498960220101#.VI3EvyuG-_l

Zapata-Ros, M. (2013). El “problema de 2 sigma” y el aprendizaje ayudado por la tecnología en la Educación Universitaria. http://red.hypotheses.org/287

Por qué el pensamiento computacional (VI). Iteración

Publicado con el mismo título en Pensamiento computacional y alfabetización digital / Computational thinking and computer literacy, el 30 de noviembre de 2014


Siempre que hablamos de iteración pensamos en procedimientos repetitivos como los que utilizamos cuando aprendimos o cuando enseñábamos BASIC, Pascal, LOGO, o C++, y más recientemente Java o Phyton. Lo asociamos a bucles, a instrucciones FOR TO, while, do-while, repeat,… y a diagramas de flujo. En definitiva, era difícil hablar de iteración sin pensar en la construcción de algoritmos repetitivos. Sin embargo pocas veces pensamos que hay aprendizajes básicos, en las primeras etapas de desarrollo, donde se pone en marcha un sistema de pensamiento de este tipo. Pensemos por ejemplo en la adquisición que hacen los niños de las ideas sobre fracciones, números racionales, o incluso en los números reales, en la representación decimal , en la notación decimal de números reales, y en su representación ¿qué son sino más que procedimientos iterativos? También podríamos pensar en sistemas de medición, de magnitudes de peso, masa, volumen, superficie,… ¿qué son estos procesos sino sistemas de representación conceptual iterativas?

Son particularmente importantes las aportaciones en este sentido de Mack (2001); Olive & Vomvoridi  (2006).  E igualmente las de Steffe & Olive (2010) para el desdoblamiento de operaciones, que juega un papel crítico en la construcción de esquemas  de fracciones por los estudiantes, tales como el esquema de fracción iterativo. Otras investigaciones en este sentido fueron las de Hackenberg, (2007) y  Steffe (2004).

Jesse L.M. Wilkins, Anderson Norton y Steven J. Boyce (2011) prueban empíricamente la validez de unos esquemas iterativos llamados partitive unit fraction scheme (PUFS), y de forma más generalpartitive fraction scheme (PFS),  para el aprendizaje de fracciones. Aunque este estudio ha sido criticado por Norton & Wilkins (2010), debido a la existencia de caracterizaciones del esquema divergentes.


La iteración es una componente pues importante del pensamiento computacional, con una extensa proyección en otras representaciones cognitivas y en procedimientos que son la base de importantes actividades y tareas, como por ejemplo lo que hemos mencionado en relación con la medida y la representación de magnitudes y valores.

Pero no sólo es relevante a ese nivel, la iteración es la base de procedimientos complejos y está en la resolución de problemas con más alcance o más impacto que lo que supone su definición en una primera aproximación.

Hay un problema conocido por el problema del viajante (TSP por las siglas de Traveling Salesman Problem). Sucintamente consiste en,  dada una lista de poblaciones, ¿cuál es la ruta más corta posible que pasa por cada localidad exactamente una vez y termina en el lugar de salida?. Hay muy variados métodos de resolución y todos son iterativos. El primero es el procedimiento a mazazos, también llamado “búsqueda de fuerza bruta”  (Brute-force search). Como el nombre sugiere se trata de obtener como itinerarios posibles todas las permutaciones de las ciudades, con la distancia recorrida en cada caso, y obtener el mínimo de ellas. Es un método exacto y factible, con muy poca programación, en un ordenador. Es un ejemplo de método iterativo. Tiene problemas de tiempo porque es una función de un factorial, pero hay algoritmos para abreviar el tiempo.
Este es un método heurístico. Se podría pues, como vimos, incluir en varias categorías en cuanto a tipo de pensamiento. Casi nunca son puros.

Hay otros métodos heurísticos también recursivos como es el del vecino más cercano (NN, nearest neighbor)  (también llamado algoritmo voraz), que como el propio nombre indica en cada caso elige la ciudad más cercana sin visitar como su próximo movimiento. 
Luego hay métodos algorítmicos con hamiltonianos y todo eso.

Pero lo importante para nuestro propósito de ver la importancia del a iteración en metódos basados en grafos es al menos traer la referencia de los métodos op:
El intercambio par a par simple,  o técnica 2-opt, que supone en cada iteración la eliminación de dos aristas que se cortan  y su reemplazo por con dos aristas diferentes, que no se crucen, y que reconecten los fragmentos creados por la eliminación de las aristas por este método, obteniendo así un camino más corto.

Éste es un caso especial del método general heuristica k-opt o heurística Lin-Kernighan. Donde en un recorrido dado se eliminan k aristas que se cortan en al menos un punto por un conjunto que no se corta en ningún punto.




Este problema y los algoritmos que se han desarrollado apartir de él han permitido un enfoque interesante  para otro problema, el del embarque en aviones, a Jason Steffen (2008), y al desarrollo de un algoritmo muy práctico y de indudable interés económico para la secuencia de embarque de pasajeros en los aeropuertos.




El cambio que supone en la práctica modificar la forma en que la gente embarca en los aviones, el ahorro de tiempo multiplicado por el número de embarques que se producen en todo el mundo, a lo que se unen los tiempos de espera en vuelos combinados, suponen una solución de gran envergadura directa, a la economía de tiempo, y de dinero,de sueldos, de energía,... Y esto sólo si lo planteamos directamente. Pero es que además hay un ahorro indirecto y un bienestar añadido: El que supone que la gente llegue a tiempo a su trabajo, a su negocio, a sus vacaciones o a estar con su familia. Ventajas que son muy de tener en cuenta..., todo por una cuestión de iteracción. Y como consecuencia de una forma de pensar que primero se planteó exclusivamente como pensamiento computacional.



Referencias.-

Mack, N. K. (2001). Building on informal knowledge through instruction in a complex content domain: Partitioning, units, and understanding multiplication of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 32(3), 267–296.

Olive, J., & Vomvoridi, E. (2006). Making sense of instruction on fractions when a student lacks necessary fractional schemes: The case of Tim. Journal of Mathematical Behavior 25(1), 18–45.

Steffe, L. P., & Olive, J. (2010). Children’s fractional knowledge. Springer: New York.

Hackenberg, A. J. (2007). Units coordination and the construction of improper fractions: A revision of the splitting hypothesis. Journal of Mathematical Behavior, 26(1), 27–47.

Steffe, L. P. (2004). On the construction of learning trajectories of children: The case of commensurate fractions. Mathematical Thinking and Learning, 6(2), 129–162

Steffen, J. H. (2008). Optimal boarding method for airline passengers. Journal of Air Transport Management14(3), 146-150. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0969699708000239

Wilkins, J. L. M., & Norton, A. (2011). The splitting loope. Journal for Research in Mathematics Education, 42(4), 386–416

Wilkins, J. L., Norton, A., & Boyce, S. J. (2013). Validating a Written Instrument for Assessing Students' Fractions Schemes and Operations. Mathematics Educator22(2), 31-54.

Por qué el pensamiento computacional (V). Recursividad.-

Publicado con el mismo título en Pensamiento computacional y alfabetización digital / Computational thinking and computer literacyel 26 de noviembre de 2014

En esta serie de entradas estamos proponiendo lo que consideramos pueden ser componentes del pensamiento computacional.  Con ello pretendemos realizar una redefinición de un dominio teórico específico dentro de las teorías del aprendizaje. Y desde luego hacer una descripción somera, en un primer acercamiento, de un currículum adecuado a esos dominios conceptuales para las distintas etapas educativas y para la capacitación de maestros y profesores.

Lo tratamos de hacer con las limitaciones de un post. Después será tratado y ampliado en documentos con más extensión y documentación. En un primer repaso y en la búsqueda correspondiente hemos intentamos conectar lo dicho en entradas anteriores con las conceptualizaciones y modalidades del pensamiento según las teorías del aprendizaje. Así pues hemos encontrado  ya como componentes del pensamiento computacional: El pensamiento  ascendente, el pensamiento descendente, la heurística, el pensamiento divergente, la creatividad, la resolución de problemas y el pensamiento abstracto.

Abordamos ahora la recursividad.

A veces un problema por su tamaño, o porque depende de un número natural (o de un cardinal) no puede ser resuelto por sí mismo pero puede ser remitido a otro problema de las mismas características o naturaleza pero más pequeño o dependiendo de un cardinal menor, que sí puede ser resuelto, o nos puede dar la pista de una regla de remitir problemas a problemas menores (regla de recurrencia). Y en ambos casos nos permite resolver el problema. A estos métodos, que son así considerados unos métodos de resolución de problemas, se les llama recursividad o recurrencia.

Con el término recursividad también se quiere en otras ocasiones abordar una forma de conceptualizar, de definir, objetos de conocimiento o ideas: De esta forma se dice que están definidos por recurrencia.

En esta forma de abordar el conocimiento se ha visto por un lado una forma más útil, o más económica cognitivamente, de abordar la resolución mediante procesos automatizados, o una forma más eficaz y elegante de abordar conceptos y definiciones que permiten integrarlas más eficientemente desde el punto de la lógica en un sistema teórico.

Presenta un dificultad que hace necesaria una predisposición mental que no siempre es frecuente ni fácil de alcanzar según qué individuos.

En matemáticas es muy frecuente:

El concepto de potencia de exponente natural se puede definir como un producto de factores iguales:

an =a.a.a…a

O bien mediante una formulación recursiva: una potencia se define en función de la potencia anterior

an =a.an-1
excepto si el exponente vale 0, que entonces es a0=1, a esto se le llama cláusula de parada.
Con la función factorial sucede igual, se puede definir como un producto de factores consecutivos decrecientes:

n!=n.(n-1).(n-2)…3.2.1
O con una fórmula recursiva:
n!=n.(n-1)!   y   1!=1

La experiencia me dice que los alumnos cuando se les presenta adecuadamente la primera formulación la suelen comprender y aprender con relativa facilidad. No así la segunda. Necesita un tipo especial de forma de pensar. Necesita utilizar el pensamiento recursivo.
Sin embargo la segunda forma tenia indudables ventajas no solo para programar sino incluso de economía de pensamiento y de ejecución. Mis alumnos de secundaria comprendían perfectamente esto cuando les ponía el siguiente ejemplo:

Una azafata quiere comprobar que todos los pasajeros tienen que llevar ajustado y bien sujeto el cinturón de seguridad. En principio podría hacerlo de dos formas: recorriendo el pasillo y verificando que todos lo llevasen correctamente o bien asegurando solo dos cosas:
Que cada pasajero comprobase que  lo lleva igual que el anterior y que el primero lo llevase bien.

La recursividad es algo que va más allá de las matemáticas o de la computación, es propiamente una forma de pensar: Pensar sobre el pensamiento, también tiene un ámbito de conocimiento o de modelado en la psicología: la metacognición. De hecho en un conocido trabajo “El pensamiento recursivo” Michael C. Corballis (2007) dice que “La facultad de pensar sobre el pensar constituye el atributo crítico que nos distingue de todas las demás especies”.

Los fractales, como caos y sistemas dinámicos, son también estructuras recursivas. Los podemos encontrar incluso en la fundamentación del conectivismo (Siemens, September 2014, a través deZapata-Ros, 2014).

Pero también constituye la base de la geometría (Zapata-Ros, 1996a, 1996b) y del arte fractal (Zapata-Ros, 2013)

La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. La expresión, así como el concepto, se atribuyen al matemático Benoit B. Mandelbrot, del Centro de Investigación Thomas J. Watson, que la empresa IBM tiene en Yorktown Heights, Nueva York, y aparecen como tal a finales de la década de los setenta y principios de los ochenta (Mandelbrot, 1977 y 1982). Aunque anteriormente Kocht, Cantor y Peano entre otros, definieron objetos catalogables dentro de esta categoría, pero no reconocidos como tales.

El concepto de fractal se puede abordar desde distintos puntos de vista, sin embargo se acepta comúnmente que un fractal es un objeto geométrico compuesto de elementos también geométricos de tamaño y orientación variable, pero de aspecto similar. Con la particularidad de que si un objeto fractal lo aumentamos, los elementos que aparecen vuelven a tener el mismo aspecto independientemente de cual sea la escala que utilizamos, y formando parte, como en un mosaico de los elementos mayores. Es decir estos elementos tienen una estructura geométrica recursiva. Si observamos dos fotografías de un objeto fractal con escalas diferentes (una en metros y otra en milímetros, por ejemplo) sin nada que sirva de referencia para ver cuál es el tamaño, resultaría difícil decir cuál es de las ampliaciones es mayor o si son distintas. El que cada elemento de orden mayor esté compuesto, a su vez, por elementos de orden menor, como sucede con las ramas de un árbol es lo que da estructura recursiva a los fractales.

 

Volviendo a los fundamentos del lenguaje y de la función de pensar, Rosas (2012) en la glosa que hace le artículo de Corballis (2011) The Recursive Mind. The Origins of Human Language, Thought, and Civilization, nos habla, en el contexto del resurgimiento del Programa Minimalista de Chomsky, más allá de una búsqueda formal centrada en el código y en las reglas que subyacen en éste, de una búsqueda desde un plano superior, más abstracto, que observa la capacidad lingüística, insertándola en un sistema funcional que la explica mediante determinados principios no específicos de esta facultad, como son la arquitectura estructural y a las restricciones de su desarrollo (como es la eficiencia computacional) o los relativos al análisis de datos. Que en un palno multidisciplinar hace consideraciones a criterios que no son propios de ese dominio.
Rosas (2012) entiende que “eso ha dado lugar a la aparición de una nueva capacidad en la que pocas veces se había reparado (sic) y mucho menos ocupado el foco principal de estudio: la recursividad.
En un artículo muy citado en este sentido, Hauser, Chomsky y Fitch (2002 y 2005) proponen la recursividad como la única capacidad estrictamente merecedora de la denominación “lenguaje”, de ahí el nombre que le otorgan: “Facultad del lenguaje en sentido estricto”. Ésta sería exclusiva de la especie humana y estaría presente sólo en el lenguaje.


En el primer capítulo, de The Recursive Mind: The Origins of Human Language, Thought, and Civilization, respondiendo a la pregunta ¿qué es la recursividad?Michael C. Corballis (2014) sostiene que en 1637, el filósofo francés René Descartes cuando escribió la frase inmortal "Je pense, donc je suis" o “Cogito, ergo sum”, en esencia al hacer esta declaración, Descartes lo que hizo no sólo fue pensar, que estaba pensando en el pensamiento, y que le llevó a la conclusión de que existía, sino que estaba constatando la existencia del pensamiento como recursividad. Esta consideración le da paso a Corballis para pensar en un papel más general de la recursividad en nuestros procesos mentales, y a sostener que es la característica principal que distingue a la mente humana de la de otros animales. Es la base de nuestra capacidad no sólo para reflexionar sobre nuestra propia mente, sino también para simular la mente de otros. Mediante ella se nos permite viajar mentalmente en el tiempo, a realizar una inserción de la conciencia del pasado o del futuro en la conciencia presente. La recursividad es pues el ingrediente principal para distinguir el lenguaje humano de todas las otras formas de comunicación animal. 

Referencias.- 

Corballis, M. C. (2007). Pensamiento recursivo. Mente y cerebro, 27, 78-87. http://amscimag.sigmaxi.org/4Lane/ForeignPDF/2007-05CorballisSpanish.pdf

Corballis, M. C. (2014). The recursive mind: The origins of human language, thought, and civilization. Princeton University Press. http://press.princeton.edu/titles/9424.html

Fitch, T., Hauser, M. & Chomsky, N.  2005.  The evolution of the language faculty:      Clarifications and implications.   Cognition. 97.179-210

Hauser, M., Chomsky, N.,  & Fitch, T.  2002.  The faculty of language: what is it, who has it, and how did it evolve. Science 198. 1569-79

Mandelbrot, B. (1982). The fractal geometry of nature. W. H. Freeman.

Mandelbrot, B. (1977). Fractals, form, chance and dimension. W. H. Freeman.

Rosas, M. J. M. (2012). Recensión de “The recursive mind. The origins of human language, thought, and civilization”, de Michael C. Corballis. Teorema: Revista internacional de filosofía, 31(1), 151-154. http://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/4349918.pdf

Siemens, G. (December 12, 2004). Connectivism: A Learning Theory for the Digital AgeConsultado el 18/8/2011 en http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.87.3793&rep=rep1&type=pdf el 30/08/2012

Zapata-Ros, M. (1996a). Integración de la GEOMETRÍA FRACTAL en las Matemáticas, y en la Informática, de Secundaria.  http://platea.pntic.mec.es/~mzapata/tutor_ma/fractal/fracuned.htm#Pero...¿qué son los fractales?

Zapata-Ros, M. et al (1996b). Integración de la GEOMETRÍA FRACTAL en las Matemáticas, y en la Informática, de Secundaria.  Materiales para la Enseñanza Secundaria: área de Matemáticas y área de Educación FísicaDocumentos CEP . Núm. 47. CEP Murcia II. http://hdl.handle.net/11162/645.

Zapata-Ros, M. (2013).  ¿Por qué nos gustan las cosas hermosas? La belleza está escrita en lenguaje matemático mucho antes de que se descubra. Blog Redes Abiertas. http://redesabiertas.blogspot.com.es/2013/03/por-que-nos-gustan-las-cosas-hermosas.html

Zapata-Ros, M. (2014). La fundamentación teórica y científica del conectivismo. RED-Hypotheses. http://red.hypotheses.org/688

Por qué el pensamiento computacional (IV).- Un dominio teórico específico en las teorías del aprendizaje y un currículum.

Publicado con el mismo título en Pensamiento computacional y alfabetización digital / Computational thinking and computer literacyel 23 de noviembre de 2014

En las entradas anteriores hemos justificado la necesidad de contar con un corpus curricular, en el sentido que da Eggleston (1980) a la expresión, sobre pensamiento computacional y de una relación de habilidades asociadas.

Pero sobre todo es importante plantearlo en el contexto de un análisis y de una elaboración interdisciplinar, ver las implicaciones que tienen estas ideas para una redifinición de un dominio teórico específico dentro de las teorías del aprendizaje. Y desde luego definir descriptivamente en un primer acercamiento un currículum adecuado a esos dominios conceptuales para las distintas etapas educativas y para la capacitación de maestros y profesores.

Esto es lo que en una primera aproximación tratamos de hacer con las limtaciones de un post, pero que sin duda será tratado y ampliado en posteriores documentos con más extensión y documentación. En un primer repaso pues y en la búsqueda correspondiente hemos intentamos conectar con todo lo dicho las conceptualizaciones y modalidades del pensamiento según las teorías del aprendizaje. Así pues hemos encontrado  las siguientes componentes del pensamiento computacional.

Conviene decir que estas componentes no están perfectamente delimitadas ni conceptual ni metodológicamente. No son excluyentes, y según en qué contexto se empleen pueden tener significados distintos. De hecho ni tan siquiera se puede decir que constituyan elementos de una taxonomía o que correspondan a un mismo nivel operativo o conceptual. Es perfectamente posible que en métodos o procedimientos que se cataloguen por ejemplo como resolución de problemas haya elementos de análisis ascendente, o descendente, y es difícil que un análisis descendente no tenga elementos de recursividad.
Análisis descendente.-
La obtención de un método general de resolución, de un  algoritmo, implica un proceso de análisis descendente que puede llevar  al diseño de submétodos de resolución, o bien de módulos de resolución de problemas distintos y auxiliares, o bien a definir acciones concretas,  modelos o funciones matemáticas auxiliares, etc.

Análisis ascendente.-
A la hora de plantear un problema complejo una de las formas de abordarlo es resolver primero los problemas más concretos, para pasar después a resolver los más abstractos. Es decir, vamos de lo más concreto a lo más abstracto. Esta forma de plantearlo recibe el nombre de análisis ascendente.
Hay que ser muy cuidadoso a la hora de elegir este método, está repleto de dificultades, la mayor parte de las cuales consisten en el tiempo que lleva y en que necesita de otro tipo de pensamientos, por ejemplo el pensamiento divergente para orientarse en el camino para llegar al resultado general, abstracto que se desea. Muchas veces hay que situarse primero en un nivel abstracto y de allí seleccionar los problemas concretos que nos ilustran para la resolución del problema general.

Heurística.-
(Esta descripción está prácticamente obtenida de forma literal de Enseñanza Universitaria en línea: MOOC, aprendizaje divergente y creatividad (II) (Zapata-Ros, 2014a))

Habitualmente se define  Heurística como un saber no científico, pero que se aplica en entornos científicos y que se refiere técnicas basadas en la experiencia para la resolución de problemas, al aprendizaje y al descubrimiento de propiedades o de reglas. Los métodos heurísticos no tienen el valor de la prueba sobre los resultados obtenidos con ellos, tienen más bien el valor dela conjetura o de la “regla de oro”,  ni tienen tampoco la garantía de que la solución que se obtiene es  única ni es la óptima. Este saber se obtiene  frecuentemente mediante la observación, el análisis y el registro, como un conocimiento derivado del estudio de los hábitos de trabajo de los científicos (en ese sentido es un arte, una técnica o un conjunto de procedimientos prácticos o informales)  para resolver problemas. Cada uno de los procedimientos que constituyen ese saber es un heurístico.  Así podemos decir que un heurístico es cada una de las reglas metodológicas, no necesariamente formuladas como enunciados formales, en las que se  propone cómo proceder y cómo evitar dificultades para resolver problemas y conjeturar hipótesis. Tiene cada vez más sentido la heurística por dos razones: Para orientar la búsqueda de soluciones en este tipo de procesos y también cuando la búsqueda exhaustiva es poco práctica porque tiene ramas poco probables o porque conducen a soluciones inviables. Entonces los métodos heurísticos son utilizados para acelerar el proceso de encontrar una solución satisfactoria a través de atajos cognitivos, para aliviar la carga de tomar una decisión. Los ejemplos de este método incluyen el uso de una regla de oro , una conjetura , un juicio intuitivo, el Principio de Parsimonia (Navaja de Occan) o ciertos estereotipos (no sociales) que se forman en el devenir de los trabajos de los investigadores o creativos.
También se considera de forma consensuada  que la heurística es un rasgo propio de los humanos. No es un producto original sino derivado otros procesos como son la creatividad y de lo que se conoce  como pensamiento lateral o pensamiento divergente.
La heurística como disciplina  tiene múltiples vertientes. La reclaman los matemáticos, los especialistas en lógica, los psicólogos, los pedagogos e incluso los filósofos. De hecho puede incluirse en todos esos dominios pues responde a algunos de sus objetivos. Sin embargo quien tiene más experiencia y la ha desarrollado más en la resolución de problemas ha sido Polya y en la enseñanza en la que hay que resolver problemas, de la resolución de problemas. No confundir con el aprendizaje o la enseñanza basada en problemas Hablamos de la enseñanza de las matemáticas en diversos niveles.
Según Pólya (1945)  “La heurística moderna trata de comprender el método que conduce a la solución de problemas, en particular Ias operaciones mentales típicamente útiles en este proceso. Son diversas sus fuentes de información y no se debe descuidar ninguna. Un estudio serio de la heurística debe tener en cuenta el trasfondo tanto lógico, como psicológico; no deben descuidarse las aportaciones al tema hechas por autores tales como Pappus, Descartes, Leibniz y Bolzano, pero debe apegarse más a la experiencia objetiva. Una experiencia que resulta. a la vez de la solución de problemas y de la observación de los métodos del prójimo, constituye la base sobre la cual se construye la heurística.”
Así la heurística tiene su base en la sistematización de la experiencia de resolver problemas a partir de cómo lo hacen los expertos. Para ello da una serie de pautas como son: Cómo analizar el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y utilizar técnicas recursivas descomponiendo problemas en problemas similares más sencillos.

Pensamiento lateral  y pensamiento divergente.-
El pensamiento lateral (lateral tinquen) es, en expresión introducida por Edward de Bono (1968, 1970 y 1986):
El pensamiento lógico, selectivo por naturaleza, ha de complementarse con las cualidades creativas del pensamiento lateral. Esta evolución se aprecia ya en el seno de algunas escuelas, aunque la actitud general hacia la creatividad es que constituye algo bueno en sí pero que no puede cultivarse de manera sistemática y que no existen procedimientos específicos prácticos a ese fin. Para salvar este lapso en la enseñanza se ha compuesto este libro, que tiene como tema el pensamiento lateral, o conjunto de procesos destinados al uso dé información de modo que genere ideas creativas mediante una reestructuración perspicaz de los conceptos ya existentes en la mente. El pensamiento lateral puede cultivarse con el estudio y desarrollarse mediante ejercicios prácticos de manera que pueda aplicarse de forma sistemática a la solución de problemas de la vida diaria y profesional. Es posible adquirir habilidad en su uso al igual que se adquiere habilidad en la matemática y en otros campos del saber.

En cualquier caso, el “pensamiento lateral” se ha difundido como paradigma dentro del área de la psicología individual y de la psicología social. Es la forma de pensamiento que está en la génesis de  las ideas que no concuerdan con el patrón de pensamiento habitual. La ventaja de este tipo de pensamiento con respecto a cualquier otro radica en evitar, al evaluar un problema, la inercia que se produce en esos casos producida por ideas comunes o comúnmente aceptadas, que limita las soluciones al problema. El pensamiento lateral ayuda pues a romper con ese esquema rígido de pensar y de formularse las ideas en el aprendizaje, y por consecuencia posibilita obtener ideas creativas e innovadoras. El principio contrario es igualmente cierto, estar en un contexto de ignorancia y de prejuicios o de mediocridad inhibe el pensamiento lateral, divergente, y la creatividad.
Polya y Bono estudian los recursos del pensamiento divergente. Estos recursos empleados en educación, insertos en estrategias y métodos educativos, producen unos aprendizajes distintos, constituyen el aprendizaje divergente. Es un aprendizaje que está en el origen y en la práctica de los estudios de las artes y de los oficios, es común en los talleres de los artistas, de los artesanos y de los científicos e investigadores. En general allí donde se produce creación. De esta forma se puede considerar  aprendizaje divergente como aquel que utiliza los recursos del pensamiento divergente.

Creatividad.-
(Esta descripción está prácticamente trascrita del post de RED-Hypotheses Enseñanza Universitaria en línea: MOOC, aprendizaje divergente y creatividad (III) (Zapata-Ros, 2014b))

El pensamiento divergente y el pensamiento convergente son tratados en relación con la creatividad por Mihály Csíkszentmihályi (1998) en su libro Creativity: Flow and the psychology of discovery and invention, traducido y publicado por Paidós como Creatividad: el fluir y la psicología del descubrimiento y la invención (págs. 83 y 84). El libro no es solo un estudio sobre una amplia variedad de comportamientos, hábitos, e ideas de individuos que han realizado aportaciones sustanciales sobre las cuales hay consenso de su carácter creativo, sino que establece un marco epistemológico y teórico de lo que es la creatividad como facultad humana y como fenómeno (un requisito de la creatividad es su validación social).
Csikszentmihalyi, como hemos visto que lo hace Pólya, coincide en que la creatividad no es consecuencia exclusivamente del pensamiento divergente sino de una combinación de ambos pensamientos, el convergente y el divergente, y desde luego sin el primero no podría producirse aunque el insight lo produzca el segundo. Señala que los creativos, “quienes producen una novedad aceptable en un campo, parecen capaces de usar bien dos formas opuestas de pensamiento: el convergente y el divergente.” Éste sería uno de los principales rasgos de la creatividad. EI pensamiento convergente es el pensamiento que sirve para estructurar los conocimientos de una forma lógica y para aplicar sus leyes. Por decirlo de forma simplificada es el  que se mide por los test de CI, y es condición indispensable para establecer modelos donde se resuelven los problemas bien definidos, que tienen soluciones validables, mediante un procedimiento sin ambigüedades. Pero hay otro pensamiento, es el que guía la acción investigadora hacia las soluciones, y sobre todo el que conduce a unas soluciones no convencionales, e implica fluidez y capacidad para generar una gran cantidad de visiones e ideas sobre el problema que se trabaja, para cambiar de unas a otras, y para establecer asociaciones inusuales. Es el pensamiento divergente, como hemos visto. Estas variables —capacidad de orientar la indagación, fluidez, facilidad para generar ideas, para cambiar de marco y para establecer asociaciones inusuales—  son las que se tienen en cuenta y se miden en los test de creatividad, y las habilidades que se trabajan en la mayoría de los talleres de  creatividad.
Pero hay otros factores que también tienen que ver en la forma como se organiza la atención docente. Nos referimos por ejemplo a la valoración de las opciones que se eligen o de las soluciones para los problemas. Es importante que, en un sistema orientado a captar más la creatividad, un alumnos cuyo pensamiento sea fluido, flexible y generador de soluciones originales, tiene más probabilidad de ofrecer creaciones. Por tanto, tiene sentido cultivar el pensamiento divergente en el aula y en talleres y laboratorios. Pero es igualmente importante que exista alguien, un profesor adecuado,  capaz de escoger y orientar hacia la práctica las ideas más apropiadas de entre las que se generan.
Conviene aclarar en este contexto que el objetivo principal de un programa de este tipo no es la generación de novedades, sino crear un clima donde las innovaciones significativas se produzcan, o al menos no sean inhibidas por el propio sistema.
Csikszentmihalyi (1996) lo explica con claridad:
Sin embargo, sigue existiendo la sospecha persistente de que en los niveles más elevados de logro creativo la generación de novedad no es la cuestión principal. Un Galileo o un Darwin no tuvieron tantas ideas nuevas, pero aquellas a las que se aferraron fueron tan fundamentales, que cambiaron la cultura entera. Así mismo, los individuos de nuestro estudio a menudo afirmaban que sólo habían tenido dos o tres buenas ideas en toda su trayectoria profesional, pero que cada idea fue tan fecunda que los mantuvo ocupados durante toda una vida de pruebas, hallazgos, elaboraciones y aplicaciones.

Sin embargo para que estas ideas se produzcan es necesario: Un contexto adecuado donde haya un enlace con el aprendizaje convergente, un contexto que pueda hacer posible que fructifiquen. Es como una huerta, hace falta allanar un campo, labrarlo, abonarlo, regarlo, sembrar, luchar contra las heladas,…para al final recoger la cosecha. Solo que en este caso la cosecha es tan escasa como importante.

Resolución de problemas.-
En realidad el pensamiento computacional es una variante del dominio metodológico que se conoce como “resolución de problemas”. Es una restricción de la resolución de problemas a aquellos problemas cuya resolución se puede implementar con ordenadores. En este caso es muy importante distinguir que los aprendices no son sólo los usuarios de la herramienta, sino que sobre todo se convierten en los constructores y en los autores de las herramientas. 
Para eso los alumnos utilizan procedimientos, conjuntos de objetos de conocimiento y conceptos que constituyen dominios que tratamos de forma separada en este escrito. Como son la abstracción, la recursividad y la iteración- Los itilizan para procesar y analizar los datos de cara a crear métodos de resolución de problemas, y crear artefactos reales y virtuales para resolverlos. El pensamiento computacional de esta forma se puede considerar también como una metodología de resolución de problemas que se puede automatizar.
La otra vinculación del pensamiento computacional con la resolución de problemas lo constitye la visión que se puede desarrollar en los alumnos y que se manifiesta en el aula para encontrar soluciones a problemas a través del ordenador. Para esta visión también son importantes elementos de pensamiento que veremos con entidad propia como son el desarrollo de herramientas para resolver problemas por métodos de ensayos progresivos y error y por las posibilidades que tienen los ordenadores para trabajar en "una atmósfera de entender las cosas juntos”.

Pensamiento abstracto.-
Es la capacidad para operar con modelos ideales abstractos de la realidad, abstrayendo las propiedades del os objetos que son relevantes para un estudio. Una vez obtenido el modelo abstracto de la realidad se estudian sus propiedades, se extraen conclusiones o reglas que permiten predecir los comportamientos de los objetos. El pensamiento abstracto por excelencia es el pensamiento matemático, la geometría, etc.
El pensamiento abstracto tiene mucho que ver con la edad del niño, no solo porque según las teorías de Piaget y las de la Psicología genética, consideran que la abstracción es producto del desarrollo, de la maduración cognitiva del niño, sino porque los mecanismos de abstracción son muy distintos según la edad la edad del niño, existiendo desde las primeras etapas. Para un niño de dos años, "el día después del día de mañana" es un concepto muy abstracto. Para un estudiante de la universidad, el día después de mañana es un concepto relativamente concreto, sobre todo si la comparamos con las ideas realmente abstractas o  muy abstractas como son el Teorema de Bayes o el principio de indeterminación de Heisenberg. 
Por supuesto, hay muchos niveles de abstracción entre estos dos extremos. Una componente importantísima en el diseño curricular es tener en cuenta el proceso de desarrollo intelectual que supone este proceso: Transitar gradualmente de pensamiento muy concreto al pensamiento abstracto, en función del desarrollo individual y esto tenerlo en cuenta en la presentación de los contenidos y destrezas a desarrollar. Esta cautela tiene que ver mucho con otra cuestión muy frecuente: Considerar lo abstracto como difícil y lo concreto como lo fácil, cuando muchas veces lo que sucede es que se presenta una habilidad o un concepto para ser aprendido en un momento poco adecuado, no por la edad exclusivamente sino sobre todo por las condiciones en que se produce el aprendizaje.
Frecuentemente la capacidad de pensar en abstracto, para diferenciarlo de pensar en concreto, se confunde con la capacidad de transferir lo aprendido a partir de un contexto a otro. Por ejemplo, un estudiante tiene un dominio razonable del pensamiento abstracto si entiende la organización de un texto en clave de ensayo independientemente de que lo aprenda en la asignatura de lengua española y luego sin un aprendizaje adicional pueda aplicar lo aprendido para escribir un ensayo en la asignatura de sociales. También se puede confundir con el pensamiento generativo. El concepto de objeto de conocimiento generativo (Zapata-Ros, 2009) (básico para la comprensión del concepto deGenerative Learning Object (Leeder et al, 2004)) hace referencia a un conjunto de objetos de conocimiento que lo tienen todo en común excepto a lo más unos valores de adaptación o de contextualización, asignables a unos parámetros definidos o decididos por el aprendiz.

Referencias.-
Bono, E. D. (1968). New think: the use of lateral thinking in the generation of new ideas. Basic Books.
Bono, E. D. (1970). Lateral Thinking. A Textbook of Creativity. Londres: Ward Lock Educational,[1970].
Bono, E. DE (1986):El pensamiento lateral: manual de creatividad. Editorial Paidós.
Csikszentmihalyi, M. (1996). Creativity: Flow and the psychology of discovery and invention.
Csikszentmihalyi, M. (2009). Creativity: Flow and the Psychology of Discovery and invengtionHarper Collins.
Csikszentmihalyi, M. (1998). Creatividad: el fluir y la psicología del descubrimiento y la invención. Ed. Paidós.
Eggleston, J. (1982). Sociología del currículum. Ed. Troquel. Buenos Aires.
Leeder, D., Boyle, T., Morales, R., Wharrad, H., & Garrud, P. (2004). To boldly GLO-towards the next generation of Learning Objects. In World Conference on E-Learning in Corporate, Government, Healthcare, and Higher Education (Vol. 2004, No. 1, pp. 28-33).
Pólya, George (1945). How to Solve ItPrinceton University Press.
Pólya, G. (1989). Como plantear y resolver problemas Ed. Trillas. (Primera edición 1965)
Zapata-Ros, M. (2014a). Enseñanza Universitaria en línea: MOOC, aprendizaje divergente y creatividad (II).RED-Hypotheses. http://red.hypotheses.org/416
Zapata-Ros, M. (2014b). Enseñanza Universitaria en línea: MOOC, aprendizaje divergente y creatividad (II).RED-Hypotheses. http://red.hypotheses.org/427

Zapata-Ros, M. (2009): Objetos de aprendizaje generativos, competencias individuales, agrupamientos de competencias y adaptatividad . RED. Revista de Educación a Distancia, número monográfico X. Consultado (DD/MM/AA) en http://www.um.es/ead/red/M10. Pág. 5.